El Desarrollo Sostenible - DS

Aplicación del álgebra matricial para la solución de sistemas de ecuaciones lineales

a. ¿Cual de los métodos es el más indicado para resolver un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y por qué?

Uno de los mejores metodos para el sistemas de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, es el método de Gauss-Jordan ya que en este lo que hacemos es en realizar una triangular la matriz aumentada del sistema mediante las operaciones elementales


b. ¿Que ventaja tiene resolver un sistema de ecuaciones dos por dos con el método de determinantes?

Me parece que las mayores ventajas  de los sistemas de ecuaciones dos por dos es que es rápido de aprender y de utilizar

c. Enumere al menos tres métodos para calcular un determinante.

-Método de cofactores

-Método de Sarrus

-Método de gauss

Matrices especiales

Matriz identidad

Llamamos matriz identidad a la matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) formada por unos en la diagonal y ceros en las demás entradas (posiciones). La representamos por I_n donde n es la dimensión de la matriz.

Propiedades:

• Es el neutro del producto de matrices. Es decir, para toda matriz A de dimensión m x n,
  
  
• Es idempotente, es decir, sus potencias son ella misma
  
  
• Es regular y su inversa es ella misma.
• Es una matriz permutación.
• Sólo tiene un autovalor (valor propio), que es 1, con multiplicidad algebraica la misma que la dimensión de la matriz.

Notaciones habituales:

Matriz diagonal

Todos los elementos son nulos excepto los de la diagonal, esto es, los elementos que tienen el mismo número de fila que de columna.
Una matriz A diagonal de dimensión m x n que tiene por elementos de la diagonal a los elementos del vector v se le denota por

Ejemplos

Propiedades:

• Son un caso particular de las matrices triangulares.
• La matriz traspuesta de una matriz diagonal de dimensión m x n es la matriz diagonal de dimensión n x m con la misma diagonal.
• En las matrices cuadradas, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal:
  
  
  con lo que son regulares si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,
  
  
• Potencias (para las cuadradas)
  
  
• Producto de matrices diagonales: Sean las matrices A y B diagonales de dimensiones respectivas m x n y n x t, su producto es una matriz diagonal de dimensión m x t
  
  
• Los autovalores (valores propios) de las matrices diagonales cuadradas son los elementos de la diagonal.

Matrices triangulares

Distinguimos dos tipos:

• triangular superior: todos los elementos por debajo de la diagonal de la matriz son 0, es decir,
  
  
• triangular inferior: todos los elementos por arriba de la diagonal de la matriz son 0, es decir,
  
  

Ejemplos
Triangular superior	Triangular inferior

Propiedades de las matrices triangulares

• La matriz traspuesta de una triangular superior es triangular inferior y viceversa.
• Si la matriz es cuadrada, su determinante es el producto de los elementos de la diagonal
  
  
  Por tanto, es regular si, y sólo si, los elementos de la diagonal son distintos de 0. En tal caso,
  
  
• La inversa de una matriz triangular superior (inferior) es una matriz triangular superior (inferior).
• El producto de matrices triangulares superiores (inferiores) es una matriz triangular superior (inferior).
• Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada triangular son los elementos de la diagonal.

Matriz traspuesta

La matriz traspuesta de una matriz A de dimensión m x n es una matriz de dimensión n x m que tiene por columnas a las filas de A. Se denota como A^T (o A' si la matriz es real).

Ejemplos

Propiedades de la matriz traspuesta

• Traspuesta de la traspuesta
  
  
• Traspuesta de la suma
  
  
• Traspuesta del producto
  
  
• Una matriz es igual que su traspuesta si, y sólo si, es simétrica
  
  
• El determinante de una matriz regular es igual al de su traspuesta
  
  

Matriz adjunta

Sea A una matriz de cuadrada de dimensión n

se define su matriz adjunta como

donde A^{i , j} es la matriz que resulta al quitar la fila i y columna j a A.
Al elemento ad _{i , j} se le denomina ( i , j )- cofactor (o adjunto) de la matriz A.
Propiedades de la matriz adjunta:

• Adjunta de la identidad
  
  
• Adjunta de la traspuesta
  
  
• Adjunta del producto
  
  
• Si A es de dimensión n y k un escalar
  
  
• Si A es regular, su inversa es
  
  
  Esta propiedad se usa con frecuencia para el cálculo de la inversa: ejemplos.

Ejemplo de matriz adjunta

Matriz simétrica

Una matriz A cuadrada es simétrica si es igual a su traspuesta. Es decir,

Ejemplo

Propiedades de las matrices simétricas

• La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.
• La adjunta de una simétrica es simétrica.
• La suma de simétricas es simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.
• Los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.
• Autovectores (vectores propios) de autovalores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.
• Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir,
  
  

Matriz antisimétrica

Una matriz cuadrada A es antisimétrica si su traspuesta es igual a su opuesta, es decir, A^T = -A.

Matriz definida positiva

Una matriz A de dimensión m x n es definida positiva si para todo vector x = ( x₁ ,…, x_n) se cumple

Si la desigualdad se cumple con el signo ≥ , diremos que es semi definida positiva.

Matriz (estrictamente) diagonalmente dominante por filas o columnas

Una matriz A de dimensión m x n es diagonalmente dominante por filas si

diremos que los es por columnas si

Diremos que los son estrictamente si la desigualdad se cumple de forma estricta: >.

Matriz Hessenberg

Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg superior si todos los elementos por debajo de la diagonal -1 son nulos. Recordamos que la diagonal -k es la diagonal número k por debajo de la diagonal (principal).
Una matriz cuadrada A de dimensión n > 1 diremos que es Hessenberg inferior si todos los elementos por arriba de la diagonal -1 son nulos. Recordemos que la diagonal k es la diagonal número k por arriba de la diagonal (principal).

Ejemplos
Hessenberg superior
Hessenberg inferior

Algebra Matricial

Orígenes de la problemática ambiental

La percepción del problema ambiental

Debido a nuestra naturaleza humana percibimos lo que actúa sobre nuestros sentidos. Por este motivo somos capaces de percibir solamente los problemas ambientales que ocurren en nuestro entorno más próximo, como nuestro barrio, nuestra ciudad o los lugares por donde transitamos.

Pero lo que afecta al ambiente global solo lo percibimos cuando sus efectos se hacen sentir en nuestra región o en nuestro entorno más próximo. Esto sucede cuando el problema ambiental se ha agravado lo suficiente como para manifestarse en todo el planeta, o sea cuando ya es tarde para prevenirlo.

“El problema ambiental” y “los problemas ambientales”

Cuando decimos “el problema ambiental” nos referimos al problema producido por la humanidad a lo largo de la historia, al problema que afecta a nuestro planeta y a todos nosotros. Este gran problema de fondo no es fácil de ver para muchas personas, porque está producido por la suma todas las pequeñas acciones de cada integrante de la humanidad, acciones que a primera vista nos parecen correctas por que no observamos en ellas efectos inmediatos, pero todas estas numerosas acciones sumadas y a lo largo del tiempo causan graves y profundos daños al ambiente global. 

Cuando hablamos de “problemas ambientales” nos estamos refiriendo a cada uno de los distintos problemas que componen el problema ambiental o a los problemas particulares que se producen en un determinado lugar. Estos últimos nos resultan más visibles por que en ellos podemos ver claramente a las malas acciones humanas y a sus efectos inmediatos sobre el ambiente del lugar afectado. 

Las causas del problema ambiental

El problema ambiental se ha producido por la mala relación que ha tenido la humanidad con la naturaleza a lo largo de la historia y que se ha agravado en los últimos siglos llegando a la crisis de la actualidad.

No estamos viendo con claridad nuestra situación de dependencia de la naturaleza.

La parte natural que queda de nuestro planeta es la que está sosteniendo nuestra vida actual, no podríamos existir si esa parte natural desapareciera o si se disminuyera su tamaño. 

El ser humano siempre ha dependido de la naturaleza. Todos los desarrollos tecnológicos y construcciones humanas que forman la antopósfera no pueden existir por sí mismos en forma independiente, necesitan el sostén de los ecosistemas naturales que están contenidos en resto de la biósfera. 

Una de las causas del problema ambiental es no ver este hecho fundamental con la claridad necesaria y perderlo de vista en nuestras formas de vida actuales.

Los ambientes artificiales en donde vivimos nos hacen perder de vista a  nuestro sostén.

Las viviendas, las ciudades y los ambientes artificiales que nos resguardan de los rigores del mundo externo, nos hacen olvidar que todas estas construcciones humanas para poder funcionar, necesitan de la fuente de energía externa, los ciclos de los ecosistemas naturales y demás aportes de la naturaleza. En estos lugares donde vivimos, se nos crea la falsa ilusión de que no necesitamos de la naturaleza para poder seguir viviendo.

Una antigua idea que le ha hecho mucho daño al ambiente: “El mundo infinito”.

Hay una vieja idea instalada en gran parte de la humanidad y que proviene de épocas remotas cuando la humanidad era poco numerosa, la idea de estar viviendo en un mundo infinito con áreas naturales infinitas y con recursos inagotables. A partir de esta concepción del mundo y de la naturaleza, todos los actos y emprendimientos humanos nunca tuvieron en cuenta su costo ambiental.

Esta idea fue heredada a través de las generaciones y aún sigue existiendo en la actualidad en un mundo cada día más finito.

Hay nuevas ideas que nos ayudan a ver y a entender el  problema ambiental

La naturaleza puede se considerada como una gran “empresa” proveedora de bienes y servicios.

La gran empresa natural nos provee, entre otras cosas, de oxígeno, agua dulce, regulación del clima, energía, materiales y demás elementos escenciales para nuestra existencia. Esta empresa que no nos cobra dinero, además de proveernos de los elementos escenciales, de climatizar nuestro entorno y de mantenerlo en las condiciones adecuadas para nuestra vida, nos brinda también los servicios de recepción y reciclado de nuestros productos residuales. Todos los días capta y limpia a la atmósfera del anhidrido carbónico y otros gases producidos, recicla nuestras aguas residuales y a los demás materiales de desecho que generamos en nuestra vida humana.

Este importante concepto de la Economía Ecológica, nos ayuda a visualizar a nuestro soporte vital y a tomar conciencia de que nuestras vidas dependen de él.

Vemos así, la necesidad de evitar que, con nuestras actividades, sigamos dañando, destruyendo, o reduciendo el tamaño de esta “gran empresa natural” que debe atender a diario a los miles de millones de  habitantes de nuestro planeta, porque estamos poniendo en serio riesgo su capacidad de seguir abasteciendo a toda la humanidad. 

Problemas ambientales de la región

Actividades que alteran el medio ambiente

DEFORESTACION

La deforestación es el proceso por el cual la tierra pierde sus bosques en manos de los hombres.

El hombre en su búsqueda por satisfacer sus necesidades personales o comunitarias utiliza la madera para fabricar muchos productos.

Al tumbar un bosque, los organismos que allí vivían quedan sin hogar. En muchos casos los animales, plantas y otros organismos mueren o les toca mudarse a otro bosque.

DETERIORO DE LA CAPA DE OZONO
Determinadas actividades humanas vierten determinados gases a la atmósfera que reaccionan con el ozono, eliminándolo y creando otros gases que no cumplen la misión del ozono. Así, se han creado diversos agujeros en la capa de ozono que permiten la entrada en la tierra de radiaciones muy peligrosas de las que se han constatado sus negativos efectos en la salud humana, vegetal y animal.

LA BASURA
Cada vez las ciudades producen más basura, como si fuera esto un indicio de modernidad, cuando es un indicio de la necedad humana. 
Las basuras que producimos son, en muchos casos, tiradas a vertederos incontrolados.
Estas basuras, con el calor, la lluvia y el tiempo, producen unas sustancias muy nocivas que son absorbidas por la tierra y que pueden llegar a contaminar acuíferos y aguas subterráneas, que luego bebemos o utilizamos para regar nuestros cultivos.

CONTAMINACIÓN

La contaminación es la introducción de cualquier contaminante, sustancia o forma de energía que puede provocar algún daño o desequilibrio, irreversible o no, en el medio inicial.
Los agentes contaminantes tienen relación con el crecimiento de las poblaciones ya que al aumentar éstas, la contaminación que ocasionan es mayor. Los contaminantes por su consistencia, se clasifican en sólidos, líquidos y gaseosos.
ejemplos

- minería
- agricultura
- industria
- pesca

La Ecología: orígenes y bases

Un aspecto fundamental de la ecología como ciencia es su interdisciplinariedad, pues en ella convergen muchas otras disciplinas, desde las ciencias básicas (química, física), pasando por las ambientales (geografía, climatología, etc.) hasta las ciencias sociales (sociología, entre otras). La ecología puede presentar alternativas para que el hombre como una especie más del planeta tierra logre vivir en cierto equilibrio con la biosfera pues ésta incluye al ser humano como elemento de este sistema. La ecología gracias a sus aportes y sus bases ideológicas cumple un importantísimo papel dentro de la recuperación de sistemas degradados por el hombre.